Leçon 3 - Tâche 4 : Utiliser la commutativité et l’associativité de la multiplication des nombres entiers

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Leçon 3 - Tâche 4 sur 9

04Utiliser la commutativité et l’associativité de la multiplication des nombres entiers

Je peux calculer un produit de plusieurs nombres entiers de deux manières différentes.

استعمال تبادلية وتجميعية ضرب الأعداد الصحيحة

MotsPréparerMa tâcheRetenirExemplesAttentionEnsembleSeulVie réelleVérifierDéfiRésumé

Mots-clés

Touche chaque carte pour voir le mot en arabe et son sens. Regarde les 8 cartes.

un facteur

Touche pour retourner

un facteur

عامل

un des nombres que l’on multiplie

la commutativité

Touche pour retourner

la commutativité

التبادلية

je peux changer l’ordre des facteurs

l’associativité

Touche pour retourner

l’associativité

التجميعية

je peux changer le groupement des facteurs

regrouper

Touche pour retourner

regrouper

جمّع

mettre ensemble des facteurs entre crochets

simplifier un calcul

Touche pour retourner

simplifier un calcul

تبسيط حساب

rendre le calcul plus facile (10, 100…)

un nombre pair

Touche pour retourner

un nombre pair

عدد زوجي

0, 2, 4, 6… : il se divise par 2

un nombre impair

Touche pour retourner

un nombre impair

عدد فردي

1, 3, 5, 7… : il ne se divise pas par 2

une technique

Touche pour retourner

une technique

تقنية

une manière de faire

Je me prépare

Ce que tu sais déjà (tâches 1, 2 et 3, livret « Je me prépare »).

(−3) × 2 =

(−3) × (−2) =

(−8) ÷ (−2) =

8 ÷ (−2) =

Je me prépare

Des produits faciles à retenir : ils donnent 10 ou 100.

4 × 25 =

2 × 5 =

Voici la tâche à réussir

À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :

Calcule de deux manières différentes : (−5) × (−3) × 2.

Technique 1

(−5) × (−3) × 2= (−5) × 2 × (−3)= [(−5) × 2] × (−3)= (−10) × (−3)= +30

Technique 2

(−5) × (−3) × 2= +(5 × 3 × 2)= +30

Deux techniques, le même résultat : voilà la tâche réussie.

Voici les critères pour réussir

Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.

a × b = b × aCommutativité : je peux changer l’ordre des facteurs.

[a × b] × cAssociativité : je peux regrouper les facteurs comme je veux.

− − −Le signe du produit dépend du nombre de facteurs négatifs.

Voici ma méthode

Deux techniques pour un produit de plusieurs facteurs.

1Technique 1 : je simplifieJe change l’ordre et je regroupe les facteurs qui donnent un calcul facile (10, 100…).

2Technique 2 : je détermine le signeJe compte les facteurs négatifs : un nombre pair, le produit est positif ; impair, il est négatif.

3Technique 2 : je multiplie les valeurs absoluesJ’écris le signe, puis le produit des valeurs absolues.

Je retiens : la commutativité

Je te montre comment je fais

Compare (−3) × 5 et 5 × (−3).

(−3) × 5 = −155 × (−3) = −15

1. (−3) × 5 = −15 et 5 × (−3) = −15 : le résultat est le même.
2. CommutativitéSi je change l’ordre des facteurs dans une multiplication, le produit ne change pas.

Je retiens : l’associativité

Je te montre comment je fais

Le livret : (−2) × (−5) × 7, groupé de deux façons.

[(−2) × (−5)] × 7 = 10 × 7 = 70(−2) × [(−5) × 7] = (−2) × (−35) = 70

1. [(−2) × (−5)] × 7 = (+10) × 7 = 70.
2. (−2) × [(−5) × 7] = (−2) × (−35) = 70.
3. AssociativitéLe produit de plusieurs facteurs ne change pas si je change le groupement de ces facteurs.

Je retiens : je compte les facteurs négatifs

Le signe d’un produit de plusieurs facteurs.

facteurs négatifs	exemple	signe
1	(−2) × 3 × 5	−
2	(−2) × (−3) × 5	+
3	(−2) × (−3) × (−5)	−
4	(−1) × (−1) × (−1) × (−1)	+

Deux facteurs négatifs donnent un produit positif : les « − » s’en vont deux par deux.
Nombre de facteurs négatifs pair : produit positif. Impair : produit négatif. Un facteur égal à 0 : produit nul.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Le signe de (−5) × (−17) × (−2) est :

Le signe de (−4) × 10 × (−11) est :

J'étudie l'exemple

Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.

Je te montre comment je fais

Exemple 1 Deux facteurs négatifs (livret)Calcule de deux manières : (−5) × (−3) × 2.

1 Je compte les facteurs négatifs2 Je détermine le signe3 Je multiplie les valeurs absolues

Technique 1

(−5) × (−3) × 2= (−5) × 2 × (−3)= [(−5) × 2] × (−3)= (−10) × (−3)= +30

Technique 2

(−5) × (−3) × 2= +(5 × 3 × 2)= +30

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Technique 1 : je change l’ordre(−5) × 2 × (−3) : je mets ensemble (−5) × 2 = −10.
2. Technique 1 : je calcule(−10) × (−3) = +30.
3. Technique 2 : le signeIl y a 2 facteurs négatifs (pair) : le produit est positif.
4. Technique 2 : les valeurs absolues(−5) × (−3) × 2 = +30. Même résultat ✓.

Je retiensJe vérifie : 2 facteurs négatifs, le produit est positif. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 2 Un facteur négatif (livret)Calcule de deux manières : 5 × (−7) × 4.

1 Je compte les facteurs négatifs2 Je détermine le signe3 Je multiplie les valeurs absolues

Technique 1

5 × (−7) × 4= (−7) × 5 × 4= [(−7)] × 5 × 4= (−7) × 5 × 4= −140

Technique 2

5 × (−7) × 4= −(5 × 7 × 4)= −140

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Technique 1 : je change l’ordre(−7) × 5 × 4 : je mets ensemble (−7) = −7.
2. Technique 1 : je calcule(−7) × 5 × 4 = −140.
3. Technique 2 : le signeIl y a 1 facteur négatif (impair) : le produit est négatif.
4. Technique 2 : les valeurs absolues5 × (−7) × 4 = −140. Même résultat ✓.

Je retiensJe vérifie : 1 facteur négatif, le produit est négatif. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 3 Je cherche 100Calcule de deux manières : 4 × (−9) × 25.

1 Je compte les facteurs négatifs2 Je détermine le signe3 Je multiplie les valeurs absolues

Technique 1

4 × (−9) × 25= 4 × 25 × (−9)= [4 × 25] × (−9)= 100 × (−9)= −900

Technique 2

4 × (−9) × 25= −(4 × 9 × 25)= −900

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Technique 1 : je change l’ordre4 × 25 × (−9) : je mets ensemble 4 × 25 = +100.
2. Technique 1 : je calcule100 × (−9) = −900.
3. Technique 2 : le signeIl y a 1 facteur négatif (impair) : le produit est négatif.
4. Technique 2 : les valeurs absolues4 × (−9) × 25 = −900. Même résultat ✓.

Je retiensJe vérifie : 4 × 25 = 100, puis 100 × 9 = 900. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 4 Trois facteurs négatifsCalcule de deux manières : (−2) × (−17) × (−5).

1 Je compte les facteurs négatifs2 Je détermine le signe3 Je multiplie les valeurs absolues

Technique 1

(−2) × (−17) × (−5)= (−2) × (−5) × (−17)= [(−2) × (−5)] × (−17)= 10 × (−17)= −170

Technique 2

(−2) × (−17) × (−5)= −(2 × 17 × 5)= −170

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Technique 1 : je change l’ordre(−2) × (−5) × (−17) : je mets ensemble (−2) × (−5) = +10.
2. Technique 1 : je calcule10 × (−17) = −170.
3. Technique 2 : le signeIl y a 3 facteurs négatifs (impair) : le produit est négatif.
4. Technique 2 : les valeurs absolues(−2) × (−17) × (−5) = −170. Même résultat ✓.

Je retiensJe vérifie : 3 facteurs négatifs (impair) : négatif. ✓

Attention !

Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.

Les erreurs à éviter

Vrai ou faux ? Karim écrit : (−2) × (−5) × 3 = −30.

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeKarim a compté : « il y a des facteurs négatifs, donc le produit est négatif ».
2. Je me rappelleIl faut compter les facteurs négatifs : ici il y en a 2 (pair).
3. Je conclusC’est faux : (−2) × (−5) × 3 = +30.

Erreur 1 Ne pas compter les facteurs négatifs.

→ Pair : +. Impair : −.

Attention !

Les erreurs à éviter

Vrai ou faux ? Salma écrit : (+5) × (−7) × 4 = 7 × 5 × 4.

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeSalma a déplacé le nombre 7 mais a oublié son signe −.
2. Je me rappelleQuand je change l’ordre, chaque facteur garde son signe.
3. Je conclusC’est faux : (+5) × (−7) × 4 = (−7) × 5 × 4.

Erreur 2 Perdre le signe d’un facteur en changeant l’ordre.

→ Chaque facteur se déplace avec son signe.

Attention !

Les erreurs à éviter

Combien fait (−2024) × (−2025) × 0 × (−2027) ? (livret, exercice 7 d)

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeYassine a beaucoup calculé, alors qu’un des facteurs est 0.
2. Je me rappelleSi un des facteurs est égal à 0, le produit est égal à 0.
3. Je conclus(−2024) × (−2025) × 0 × (−2027) = 0.

Erreur 3 Oublier le facteur 0.

→ Je regarde d’abord s’il y a un facteur 0.

On essaie ensemble

Livret, exercice 1 : on applique la technique 1 ensemble.

ACalcule (−2) × 17 × (−5) (technique 1).

(−2) × 17 × (−5)= 17 × (−2) × (−5)= [17] × (−2) × (−5)= 17 × (−2) × (−5)= +170

1. Technique 1 : je change l’ordre. J’écris :

2. Je regroupe : 17 × [(−2) × (−5)] = 17 × …

3. Le résultat est :

On essaie ensemble

BCalcule 4 × (−9) × 25 (technique 2, livret, exercice 2).

4 × (−9) × 25= −(4 × 9 × 25)= −900

1. Technique 2 : le nombre de facteurs négatifs est :

2. Le signe du produit est :

3. Le résultat est :

Je m'entraîne

À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.

a

(−5) × 23 × 2 =

Je m'entraîne

b

2 × (−13) × 5 =

Je m'entraîne

c

(−5) × (−19) × (−2) =

Je m'entraîne

d

8 × (−7) × (−5) =

Je m'entraîne

Maintenant, sans indice.

e

(−4) × (−7) × 5 =

Je m'entraîne

f

25 × (−13) × (−4) =

Je m'entraîne

g

(−25) × (−19) × (−4) =

Je m'entraîne

h

5 × (−125) × (−2) =

Je m'entraîne

i

(−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) =

Dans la vie

Les produits de plusieurs facteurs autour de nous.

Chaque nuit, la température baisse de 2 °C (−2), pendant 5 nuits, et cela pendant 3 semaines de suite. Le changement total est 3 × 5 × (−2) :

Je vérifie

C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres (livret, exercices 3 à 7). Sans aide. 5 questions : il faut 4 bonnes réponses du premier coup (80 %).

(−5) × 23 × 2 =

4 × (−9) × 25 =

(−2) × (−13) × 5 =

(−4) × (−137) × 25 =

(−6) × (−1) × 6 × (−1) × (−6) =

Défi

Pour aller plus loin (livret, défi). Réfléchis avant de toucher.

Trouve trois nombres entiers tous différents de 1 et de −1, dont le produit est égal à −24 :

Je résume : qu’ai-je appris ?

Dis avec tes mots ce que tu as appris.

Aujourd’hui, j’ai appris à…

Je résume : comment je fais ?

Pour trouver le signe d’un produit de plusieurs facteurs, je…

Je résume : ce que je retiens

Découvre les éléments un par un.

Ce que je dois retenir de cette tâche.

(−5) × (−3) × 2 = +305 × (−7) × 4 = −140

1. CommutativitéJe peux changer l’ordre des facteurs.
2. AssociativitéJe peux regrouper les facteurs pour simplifier.
3. Le signeNombre de facteurs négatifs pair : +. Impair : −. Un facteur 0 : 0.

Je résume : mon taux de maîtrise

Je résume : je sais faire

Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».

Je détermine le signe d’un produit de plusieurs facteurs.

Je simplifie avec la commutativité et l’associativité.

Je calcule de deux manières.

Je calcule un produit de (−1).

J’utilise ces règles dans la vie.

Je résume : et maintenant ?

Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.

Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.

QuizLe quiz éclair6 questions en 60 secondes, avec un bonus de série.ManipulationLe produit malinRegroupe pour trouver 10 ou 100, compte les facteurs négatifs, calcule.JeuPair ou impair ?Positif, négatif ou nul ? Compte vite les facteurs négatifs.

Tâche suivanteMultiplier et diviser des décimaux et des fractionsCommencer ▸BientôtMon parcoursVoir toutes les tâchesOuvrir ▸