Leçon 3 - Tâche 3 : Effectuer la division de nombres entiers

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Leçon 3 - Tâche 3 sur 9

03Effectuer la division de nombres entiers

Je peux calculer le quotient de deux nombres entiers et l’écrire sous la forme d’un nombre fractionnaire.

قسمة أعداد صحيحة

MotsPréparerMa tâcheRetenirExemplesAttentionEnsembleSeulVie réelleVérifierDéfiRésumé

Mots-clés

Touche chaque carte pour voir le mot en arabe et son sens. Regarde les 8 cartes.

diviser

Touche pour retourner

diviser

قَسَم

faire une division

le quotient

Touche pour retourner

le quotient

الخارج

le résultat d’une division

le dividende

Touche pour retourner

le dividende

المقسوم

le nombre que l’on divise

le diviseur

Touche pour retourner

le diviseur

القاسم

le nombre par lequel on divise (jamais 0)

l’inverse

Touche pour retourner

l’inverse

المقلوب

le nombre qui, multiplié par un autre, donne 1

un nombre fractionnaire

Touche pour retourner

un nombre fractionnaire

عدد كسري

un nombre écrit sous la forme a/b

le numérateur

Touche pour retourner

le numérateur

البسط

le nombre en haut de la fraction

le dénominateur

Touche pour retourner

le dénominateur

المقام

le nombre en bas de la fraction

Je me prépare

Ce que tu sais déjà (tâches 1 et 2, livret « Je me prépare »).

(−4) × (+5) =

(−4) × (−6) =

6 × (−9) =

(−3) × (−8) =

Je me prépare : la division défait la multiplication

Je te montre comment je fais

Combien fait (−20) ÷ (+5) ? Pense à la multiplication.

4 × 5 = 20 → 20 ÷ 5 = 4(−4) × (+5) = −20 → (−20) ÷ (+5) = −4(−4) × (−5) = +20 → (−20) ÷ (−5) = +4

Essaie d’abord. (−20) ÷ (+5) =

1. Je sais que 4 × 5 = 20. Donc 20 ÷ 5 = 4 : la division « défait » la multiplication.
2. (−4) × (+5) = −20. Donc (−20) ÷ (+5) = −4 : signes contraires, le quotient est négatif.
3. (−4) × (−5) = +20. Donc (+20) ÷ (−5) = −4, et (−20) ÷ (−5) = +4 : même signe, le quotient est positif.

Voici la tâche à réussir

À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :

Calcule (−36) ÷ (−9), puis écris sous la forme d’un nombre fractionnaire (+3) ÷ (−2).

(−36) ÷ (−9)= +(36 ÷ 9)= +4

(+3) ÷ (−2)= −(3 ÷ 2)= −3/2

Le signe, puis la valeur absolue, puis le résultat : voilà la tâche réussie.

Voici les critères pour réussir

Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.

÷Le signe du quotient suit la même règle que le produit : même signe +, signes contraires −.

36 ÷ 9La valeur absolue du quotient est le quotient des valeurs absolues.

−3/2Si la division ne « tombe pas juste », j’écris un nombre fractionnaire.

Voici ma méthode

Pour chaque quotient, j’utilise toujours la même méthode, en 3 étapes.

1Je détermine le signe du quotientMême signe : positif. Signes contraires : négatif.

2Je détermine la valeur absolue du quotientJe divise les valeurs absolues.

3J’écris le résultatUn nombre entier, ou un nombre fractionnaire (son signe et sa valeur absolue).

Je retiens : le signe du quotient

Propriétés 1 et 2 : le signe d’un quotient.

÷	+	−
+	+	−
−	−	+

(+3) ÷ (−2) = −(3 ÷ 2) ; (−3) ÷ (−2) = +(3 ÷ 2).
Le quotient de deux entiers de signes contraires est négatif ; de même signe, il est positif. Sa valeur absolue est le quotient des valeurs absolues.

Je retiens : l’inverse d’un nombre

Je te montre comment je fais

Combien fait 4 × 1/4 ?

4 × 1/4 = 4/4= 1

1. 4 × 1/4 = 4/4 = 1.
2. Le produit est égal à 1 : on dit que 1/4 est l’inverse de 4.
3. DéfinitionUn nombre est l’inverse d’un autre si leur produit est égal à 1. L’inverse de 2 est 1/2 ; l’inverse de −5 est −1/5.

Je retiens : un quotient est un produit

Je te montre comment je fais

Écris 3/2 sous la forme d’un produit.

3 ÷ 2= 3/2= 3 × 1/2

1. Diviser 3 par 2, c’est prendre la moitié de 3 : 3 ÷ 2 = 3/2.
2. Prendre la moitié, c’est aussi multiplier par 1/2 : 3/2 = 3 × 1/2.
3. Propriété 3Le quotient de deux entiers est le produit du numérateur par l’inverse du dénominateur.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

L’inverse de 7 est :

Le signe de (−48) ÷ (−6) est :

J'étudie l'exemple

Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.

Je te montre comment je fais

Exemple 1 Signes contraires, le résultat est un nombre fractionnaire (livret)Calcule (+3) ÷ (−2).

1 Je détermine le signe2 Je détermine la valeur absolue3 J’écris le résultat

(+3) ÷ (−2)= −(3 ÷ 2)= −3/2

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Je détermine le signe du quotient(+3) et (−2) ont des signes contraires : le quotient est négatif.
2. Je détermine la valeur absolue du quotient3 ÷ 2 = 3/2.
3. J’écris le résultat(+3) ÷ (−2) = −3/2.

Je retiensJe vérifie : (−3/2) × (−2) = +3. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 2 Même signe, la division tombe justeCalcule (−36) ÷ (−9).

1 Je détermine le signe2 Je détermine la valeur absolue3 J’écris le résultat

(−36) ÷ (−9)= +(36 ÷ 9)= +4

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Je détermine le signe du quotient(−36) et (−9) ont le même signe : le quotient est positif.
2. Je détermine la valeur absolue du quotient36 ÷ 9 = 4.
3. J’écris le résultat(−36) ÷ (−9) = +4.

Je retiensJe vérifie : (+4) × (−9) = −36. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 3 Signes contraires, la division tombe justeCalcule (−18) ÷ (+6).

1 Je détermine le signe2 Je détermine la valeur absolue3 J’écris le résultat

(−18) ÷ (+6)= −(18 ÷ 6)= −3

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Je détermine le signe du quotient(−18) et (+6) ont des signes contraires : le quotient est négatif.
2. Je détermine la valeur absolue du quotient18 ÷ 6 = 3.
3. J’écris le résultat(−18) ÷ (+6) = −3.

Je retiensJe vérifie : (−3) × (+6) = −18. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 4 Même signe, un nombre fractionnaireCalcule (−3) ÷ (−5).

1 Je détermine le signe2 Je détermine la valeur absolue3 J’écris le résultat

(−3) ÷ (−5)= +(3 ÷ 5)= +3/5

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Je détermine le signe du quotient(−3) et (−5) ont le même signe : le quotient est positif.
2. Je détermine la valeur absolue du quotient3 ÷ 5 = 3/5.
3. J’écris le résultat(−3) ÷ (−5) = +3/5.

Je retiensJe vérifie : la valeur absolue est 3 ÷ 5 = 3/5. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 5 Écrire sous la forme d’un produit (livret)Écris −3/2 sous la forme d’un produit.

1 Je détermine l’inverse2 Je transforme en produit

−3/2= −3 × 1/2

Essaie d’abord. −3/2 =

1. Je détermine l’inverse du dénominateurL’inverse de 2 est 1/2.
2. Je transforme le quotient en produit−3/2 = −3 × 1/2.

Je retiensJe vérifie : −3 × 1/2 = −3/2. ✓

Attention !

Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.

Les erreurs à éviter

Vrai ou faux ? Karim écrit : (+45) ÷ (−3) = +15.

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeKarim a oublié le signe du quotient.
2. Je me rappelle(+45) et (−3) ont des signes contraires : le quotient est négatif.
3. Je conclusC’est faux : (+45) ÷ (−3) = −15.

Erreur 1 Oublier le signe du quotient.

→ Je détermine toujours le signe en premier.

Attention !

Les erreurs à éviter

Vrai ou faux ? Salma écrit : (−3) ÷ (−5) = +5/3.

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeSalma a inversé le dividende et le diviseur : elle a calculé 5 ÷ 3.
2. Je me rappelleDans a ÷ b, a est au numérateur et b au dénominateur : a/b.
3. Je conclusC’est faux : (−3) ÷ (−5) = +3/5.

Erreur 2 Inverser le numérateur et le dénominateur.

→ Le premier nombre va en haut.

Attention !

Les erreurs à éviter

Yassine écrit : « l’inverse de −5 est +5 ». A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeYassine pense que l’inverse de −5 est +5 (l’opposé).
2. Je me rappelleL’inverse donne un produit égal à 1. L’opposé donne une somme égale à 0.
3. Je conclusC’est faux : l’inverse de −5 est −1/5, car (−5) × (−1/5) = +1.

Erreur 3 Confondre l’inverse et l’opposé.

→ Inverse : produit = 1. Opposé : somme = 0.

On essaie ensemble

On applique la méthode ensemble, étape par étape (livret, exercice 1 b).

AÉcris (+7) ÷ (−3) sous la forme d’un nombre fractionnaire.

(+7) ÷ (−3)= −(7 ÷ 3)= −7/3

1. Le signe du quotient est :

2. La valeur absolue du quotient est :

3. Le résultat est :

On essaie ensemble

BCalcule (livret, exercice 1 c et d).

(−36) ÷ (−9) =

(−18) ÷ (+6) =

On essaie ensemble

CÉcris sous la forme d’un produit (livret, exercice 2).

7/3 =

−9/2 =

Je m'entraîne

À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.

a

(−5) ÷ (−6) =

Je m'entraîne

b

(+10) ÷ (−7) =

Je m'entraîne

c

(−6) ÷ (+2) =

Je m'entraîne

d

(+13) ÷ (+2) =

Je m'entraîne

Maintenant, sans indice.

e

(−11) ÷ (−4) =

Je m'entraîne

f

(−48) ÷ (−6) =

Je m'entraîne

g

(+45) ÷ (−3) =

Je m'entraîne

h

9/8 =

Je m'entraîne

i

L’inverse de −4 est :

Dans la vie

La division des nombres entiers autour de nous.

En 4 heures, la température a baissé de 12 °C (−12). En moyenne, de combien a-t-elle changé chaque heure ?

Dans la vie

Trois amis ont une dette commune de 75 DH (−75). Ils la partagent à égalité. La dette de chacun est :

Je vérifie

C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres (livret, exercices 3 et 4). Sans aide. 5 questions : il faut 4 bonnes réponses du premier coup (80 %).

(−5) ÷ (−6) =

(+10) ÷ (−7) =

(−6) ÷ (+2) =

(−85) ÷ (−5) =

Écris sous la forme d’un produit : −10/−3 =

Défi

Pour aller plus loin (livret, défi a). Réfléchis avant de toucher.

Par quel nombre entier faut-il multiplier 1/5 pour obtenir −0,2 ?

Défi

Livret, défi b.

Deux nombres entiers ont un produit égal à −12, et le rapport de leurs valeurs absolues est 0,75. Ce sont :

Je résume : qu’ai-je appris ?

Dis avec tes mots ce que tu as appris.

Aujourd’hui, j’ai appris à…

Je résume : comment je fais ?

La règle des signes du quotient est…

Je résume : ce que je retiens

Découvre les éléments un par un.

Ce que je dois retenir de cette tâche.

(−36) ÷ (−9) = 4(+3) ÷ (−2) = −3/23/2 = 3 × 1/2

1. Le signeMême signe : quotient positif. Signes contraires : quotient négatif.
2. La valeur absolueC’est le quotient des valeurs absolues.
3. L’inversea ÷ b = a/b = a × 1/b.

Je résume : mon taux de maîtrise

Je résume : je sais faire

Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».

Je détermine le signe du quotient.

Je détermine la valeur absolue du quotient.

J’écris le résultat (entier ou fractionnaire).

J’écris un quotient sous la forme d’un produit.

J’utilise la division dans la vie.

Je résume : et maintenant ?

Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.

Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.

QuizLe quiz éclair6 questions en 60 secondes, avec un bonus de série.ManipulationLa machine à quotientsLe signe, la valeur absolue, puis le quotient (entier ou fraction).JeuLe duel des inversesTrouve vite l’inverse de chaque nombre : attention à l’opposé !

Tâche suivanteUtiliser la commutativité et l’associativité de la multiplicationCommencer ▸BientôtMon parcoursVoir toutes les tâchesOuvrir ▸