Leçon 2 - Tâche 7 : Résoudre un problème en utilisant l’addition et la soustraction des nombres

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Leçon 2 - Tâche 7 sur 7Résolution de problèmes

07Résoudre un problème en utilisant l’addition et la soustraction des nombres

Je peux traduire un problème par une expression, la calculer, vérifier le résultat et répondre par une phrase.

حل مسألة باستعمال جمع وطرح الأعداد

MotsPréparerMa tâcheRetenirExemplesAttentionEnsembleSeulVie réelleVérifierDéfiRésumé

Mots-clés

Touche chaque carte pour voir le mot en arabe et son sens. Regarde les 9 cartes.

résoudre un problème

Touche pour retourner

résoudre un problème

حلّ مسألة

trouver la réponse à la question du problème

vérifier

Touche pour retourner

vérifier

تحقّق

contrôler que le résultat est juste

un gain

Touche pour retourner

un gain

ربح

ce que l’on gagne : il s’écrit avec le signe +

une perte

Touche pour retourner

une perte

خسارة

ce que l’on perd : elle s’écrit avec le signe −

d’abord

Touche pour retourner

d’abord

أوّلا

ce qui se passe en premier

puis

Touche pour retourner

puis

ثمّ

ce qui se passe ensuite

la distance totale

Touche pour retourner

la distance totale

المسافة الكلّية

le trajet entier : c’est l’unité, 1

rebrousser chemin

Touche pour retourner

rebrousser chemin

عاد أدراجه

revenir en arrière : on s’éloigne de l’arrivée

la partie qui reste

Touche pour retourner

la partie qui reste

الجزء المتبقّي

ce qu’il reste à parcourir pour arriver

Je me prépare

Ce que tu sais déjà (tâches 4 et 5).

L’opération 21 + 41 est une :

33 − 133 =

Je me prépare

60 − 12 − 8 =

5/12 + 1/3 =

Je me prépare : ce que je sais déjà

Ce que je sais déjà.

− → +Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : 33 − 133 = 33 + (−133).

≠Signes contraires : je garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue, puis je soustrais.

+ / −Pour calculer une expression : j’élimine les opposés, je regroupe les positifs et les négatifs, je calcule.

Voici la tâche à réussir

À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :

Résous le problème : dimanche, j’avais 75 billes. Lundi, j’en ai perdu 19 le matin et 11 l’après-midi. Jeudi, j’en ai d’abord perdu 13, puis j’en ai gagné 21. Samedi, j’en ai gagné 41. Combien de billes me reste-t-il samedi soir ?

Dimanche75Lundi−19Lundi−11Jeudi−13Jeudi+21Samedi+41

75 − 19 − 11 − 13 + 21 + 41 = 137 − 43 = 94

Samedi soir, il me reste 94 billes.

Je comprends, je modélise, je calcule, je vérifie, je conclus : voilà la tâche réussie.

Voici les critères pour réussir

Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.

+ / −Je représente un gain par le signe + et une perte par le signe −.

1Le trajet entier est l’unité : 1. La partie qui reste est 1 − la partie parcourue.

✓Je vérifie mon résultat, puis je réponds par une phrase.

Voici ma méthode

Pour résoudre un problème, j’utilise toujours la même méthode, en 5 étapes.

1Je comprendsJe lis l’énoncé, je repère les données, les gains (+) et les pertes (−), et la question.

2Je modéliseJ’écris l’expression numérique qui correspond au problème.

3Je calculeJe calcule l’expression avec les règles que je connais.

4Je vérifieJe contrôle le résultat, par exemple étape par étape dans un tableau.

5Je conclusJe réponds à la question par une phrase.

Je retiens : un gain, une perte

Je te montre comment je fais

Un gain ou une perte ?

gain+
gagner, recevoir, monter, avancerperte−
perdre, dépenser, descendre, rebrousser

1. Je gagne, je reçois, je monte, j’avance : c’est un gain. Je l’écris avec le signe +.
2. Je perds, je dépense, je descends, je rebrousse chemin : c’est une perte. Je l’écris avec le signe −.
3. Je retiensUn gain augmente la quantité : signe +. Une perte diminue la quantité : signe −.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

« Jeudi, j’ai gagné 15 billes » s’écrit :

« Lundi, j’ai perdu 12 billes » s’écrit :

Je retiens : la partie qui reste

Je te montre comment je fais

Quelle fraction du trajet reste-t-il à parcourir ?

le trajet entier : 1parcouru : 3/5il reste : 1 − 3/5 = 2/5

1. Le trajet entier est l’unité : il vaut 1.
2. La famille a parcouru 3/5 du trajet.
3. La partie qui reste est 1 − 3/5 = 5/5 − 3/5 = 2/5.
4. Je retiensLa partie qui reste = 1 − la partie parcourue. Je vérifie : la partie parcourue + la partie qui reste = 1.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Un randonneur a parcouru 3/4 du sentier. Il lui reste :

J'étudie l'exemple

Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.

Je te montre comment je fais

Exemple 1 Des gains et des pertesDimanche, j’avais 75 billes. Lundi, j’en ai perdu 19 le matin et 11 l’après-midi. Jeudi, j’en ai d’abord perdu 13, puis j’en ai gagné 21. Samedi, j’en ai gagné 41. Combien de billes me reste-t-il samedi soir ?

1 Je comprends2 Je modélise3 Je calcule4 Je vérifie5 Je conclus

Dimanche75Lundi−19Lundi−11Jeudi−13Jeudi+21Samedi+41

75 − 19 − 11 − 13 + 21 + 41

= 137 − 43 = 94

Jour	départ	lundi	jeudi	samedi
billes	75	45	53	94

Samedi soir, il me reste 94 billes.

Essaie d’abord. Samedi soir, il me reste :

1. Je comprendsAu départ : 75 billes. Les pertes (−) : 19, 11 et 13. Les gains (+) : 21 et 41. La question : combien me reste-t-il samedi soir ?
2. Je modélise75 − 19 − 11 − 13 + 21 + 41
3. Je calculePositifs : 75 + 21 + 41 = 137. Négatifs : 19 + 11 + 13 = 43. 137 − 43 = 94.
4. Je vérifieJour par jour : lundi 75 − 19 − 11 = 45 ; jeudi 45 − 13 + 21 = 53 ; samedi 53 + 41 = 94. ✓
5. Je conclusSamedi soir, il me reste 94 billes.

Je retiensJe vérifie : le tableau jour par jour donne le même résultat. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 2 Le busAu départ de la gare, un bus transporte 25 personnes. À son premier arrêt, 14 personnes montent et personne ne descend. À son deuxième arrêt, 9 personnes montent et 7 descendent. Combien de personnes le bus transporte-t-il au départ de la deuxième station ?

1 Je comprends2 Je modélise3 Je calcule4 Je vérifie5 Je conclus

Départ251er arrêt+142e arrêt+92e arrêt−7

25 + 14 + 9 − 7

= 48 − 7 = 41

	départ	1er arrêt	2e arrêt
personnes	25	39	41

Le bus transporte 41 personnes.

Essaie d’abord. Le bus transporte :

1. Je comprendsAu départ : 25 personnes. Au premier arrêt, 14 montent (+14). Au deuxième arrêt, 9 montent (+9) et 7 descendent (−7).
2. Je modélise25 + 14 + 9 − 7
3. Je calcule25 + 14 + 9 = 48, puis 48 − 7 = 41.
4. Je vérifieDépart : 25. Après le premier arrêt : 25 + 14 = 39. Après le deuxième : 39 + 9 − 7 = 41. ✓
5. Je conclusAu départ de la deuxième station, le bus transporte 41 personnes.

Je retiensJe vérifie : monter, c’est +. Descendre, c’est −. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 3 Le voyage en voitureUne famille part en vacances. Le premier jour, elle parcourt 5/12 de la distance totale. Le deuxième jour, elle parcourt 1/3 de la distance totale. Le troisième jour, à cause d’un détour, elle rebrousse chemin sur 1/6 de la distance totale. Quelle fraction de la distance totale reste-t-il à parcourir à la fin du troisième jour ?

1 Je comprends2 Je modélise3 Je calcule4 Je vérifie5 Je conclus

1er jour+5/122e jour+1/33e jour−1/6

1 − (5/12 + 1/3 − 1/6)

= 1 − 7/12 = 5/12

7/12 + 5/12 = 1 ✓

Il reste 5/12 de la distance totale.

Essaie d’abord. Il reste :

1. Je comprendsL’unité est la distance totale : 1. Le premier jour : + 5/12. Le deuxième jour : + 1/3. Le troisième jour, la famille rebrousse chemin : − 1/6.
2. Je modéliseLa partie parcourue est 5/12 + 1/3 − 1/6. La partie qui reste est 1 − (5/12 + 1/3 − 1/6).
3. Je calcule5/12 + 4/12 − 2/12 = 7/12, puis 1 − 7/12 = 5/12.
4. Je vérifiePartie parcourue + partie qui reste : 7/12 + 5/12 = 12/12 = 1. ✓
5. Je conclusÀ la fin du troisième jour, il reste 5/12 de la distance totale à parcourir.

Je retiensJe vérifie : les deux parties forment le trajet entier, 1. ✓

Attention !

Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.

Les erreurs à éviter

Vrai ou faux ? « J’avais 60 billes. J’en ai perdu 12, puis 8. » Karim écrit : 60 + 12 − 8.

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeKarim a écrit la perte de 12 billes avec le signe +.
2. Je me rappelleUne perte diminue la quantité : elle s’écrit avec le signe −.
3. Je conclusC’est faux : 60 − 12 − 8 = 40. Il me reste 40 billes.

Erreur 1 Confondre un gain et une perte.

→ Un gain : +. Une perte : −.

Attention !

Les erreurs à éviter

Vrai ou faux ? Pour le voyage, Salma écrit : 5/12 + 1/3 + 1/6.

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeSalma a ajouté la distance du troisième jour.
2. Je me rappelleRebrousser chemin, c’est revenir en arrière : on s’éloigne de l’arrivée. C’est le signe −.
3. Je conclusC’est faux : la partie parcourue est 5/12 + 1/3 − 1/6 = 7/12.

Erreur 2 Ajouter un retour en arrière.

→ Rebrousser chemin : signe −.

Attention !

Les erreurs à éviter

Yassine répond : « Il reste 7/12 du trajet à parcourir. » A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observe7/12 est la partie parcourue.
2. Je me rappelleLa question demande la partie qui reste : 1 − la partie parcourue.
3. Je conclusYassine se trompe : il reste 1 − 7/12 = 5/12.

Erreur 3 Confondre la partie parcourue et la partie qui reste.

→ Je relis la question avant de conclure.

On essaie ensemble

On applique la méthode ensemble, étape par étape.

ADimanche, j’avais 60 billes. Lundi, j’en ai perdu 12 le matin et 8 l’après-midi. Jeudi, j’en ai d’abord perdu 10, puis gagné 15. Samedi, j’en ai gagné 25. Combien m’en reste-t-il samedi soir ?

1. Lundi, il me reste :

2. L’expression de toute la semaine est :

3. Le résultat est :

4. Je conclus :

On essaie ensemble

BUne famille voyage. Le premier jour, elle parcourt 3/10 de la distance totale. Le deuxième jour, 1/2 de la distance totale. Le troisième jour, elle rebrousse chemin sur 1/5 de la distance totale. Quelle fraction reste-t-il à parcourir ?

1. Dans ce problème, l’unité est :

2. La partie parcourue est :

3. La partie qui reste est :

4. Je vérifie : 3/5 + 2/5 =

On essaie ensemble

CRemets les 5 étapes de la méthode dans le bon ordre.

Touche les 5 étapes de la méthode dans le bon ordre.

On essaie ensemble

DDis si la phrase est juste.

Vrai ou faux ? « La famille rebrousse chemin » s’écrit avec le signe +.

On essaie ensemble

EPour un gâteau, Maria utilise 43 cl de lait. Elle ajoute 21 cl d’eau. Il y a trop de liquide : elle retire 25 cl du mélange. Quelle quantité de liquide Maria a-t-elle finalement ?

1. L’expression est :

2. Maria a finalement :

Je m'entraîne

À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.

a

L’ascenseur est au 2e étage. Il descend de 5 étages. Où arrive-t-il ?

Je m'entraîne

b

Dans un jeu, Salma a 0 point. Elle gagne 15 points, perd 20 points, puis gagne 8 points. Combien a-t-elle de points ?

Je m'entraîne

c

Le matin, il fait −4 °C. La température monte de 9 °C, puis baisse de 7 °C. Quelle est la température ?

Je m'entraîne

d

Karim lit 1/4 d’un livre lundi et 1/3 mardi. Quelle fraction du livre lui reste-t-il à lire ?

Je m'entraîne

Maintenant, sans indice.

e

Un bus transporte 30 personnes. Au premier arrêt, 12 descendent et 5 montent. Au deuxième arrêt, 8 descendent. Combien de personnes reste-t-il ?

Je m'entraîne

f

Un plongeur est à −8 m. Il descend de 5 m, puis remonte de 3 m. Quelle expression donne sa position ?

Je m'entraîne

g

Un randonneur monte 2/5 du sentier, puis 1/4, puis il redescend 1/10. Quelle fraction du sentier reste-t-il ?

Je m'entraîne

h

Yassine a 120 DH. Il dépense 45 DH, reçoit 30 DH, puis dépense 60 DH. Il vérifie dans un tableau : 120 → 75 → 105 → ?

Je m'entraîne

i

Problème : « Le compte de Sami est à 50 DH. Il paie 70 DH. » La bonne phrase de conclusion est :

Dans la vie

Les problèmes de la vie.

Au souk de Khouribga, un marchand vend pour 350 DH le matin et achète des fruits pour 120 DH. L’après-midi, il vend pour 210 DH et paie 95 DH de transport. Combien a-t-il gagné dans la journée ?

Dans la vie

Un train va de Khouribga à Casablanca. Il a parcouru 2/3 du trajet. Quelle fraction du trajet reste-t-il ?

Dans la vie

À Ifrane, à 6 h, il fait −5 °C. À midi, la température a monté de 11 °C. Le soir, elle a baissé de 8 °C. Quelle est la température le soir ?

Je vérifie

C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres. Sans aide. 5 questions : il faut 4 bonnes réponses du premier coup (80 %).

Mardi, j’avais 48 billes. J’en perds 17, puis j’en gagne 9. L’expression est :

Le résultat de 48 − 17 + 9 est :

Une cycliste parcourt 1/2 du trajet, puis 1/6. Quelle fraction reste-t-il ?

Un ascenseur part du niveau −2, monte de 7 étages, puis descend de 3. Il arrive :

Pour vérifier, je calcule étape par étape : −2 → 5 → 2. Le résultat 2 est :

Défi

Pour aller plus loin. Réfléchis avant de toucher.

Un magasin a 200 cahiers. Lundi, il en vend 75 et en reçoit 50. Mardi, il en vend 90. Mercredi, il en reçoit 40 et en vend 35. Combien de cahiers reste-t-il mercredi soir ?

Défi

Amine a lu 1/3 d’un livre, puis 1/4. Il lui reste 50 pages. Quelle fraction du livre représentent ces 50 pages ?

Je résume : qu’ai-je appris ?

Dis avec tes mots ce que tu as appris.

Aujourd’hui, j’ai appris à…

Je résume : comment je fais ?

Après avoir calculé, je dois encore…

Je résume : ce que je retiens

Découvre les éléments un par un.

Ce que je dois retenir de cette tâche.

Je comprendsJe modéliseJe calculeJe vérifie et je conclus

1. Je comprendsJe repère les données, les gains (+), les pertes (−) et la question.
2. Je modéliseJ’écris l’expression numérique. Pour un trajet, l’unité est 1.
3. Je calculeAvec les règles des tâches 5 et 6.
4. Je vérifie, puis je conclusJe contrôle le résultat, puis je réponds par une phrase.

Je résume : mon taux de maîtrise

Je résume : je sais faire

Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».

Je modélise un problème par une expression.

Je calcule l’expression du problème.

Je trouve la partie qui reste d’un trajet.

Je vérifie et je réponds par une phrase.

Je résous un problème de la vie.

Je résume : et maintenant ?

Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.

Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.

QuizLe quiz éclair6 questions en 60 secondes, avec un bonus de série.ManipulationGain ou perte ?Écris l’expression d’un petit problème, calcule, puis réponds par une phrase.JeuLe bus de KhouribgaDes passagers montent et descendent : trouve combien arrivent.Quiz de leçonLa course vers le sommet du ToubkalRéponds juste pour grimper : une erreur te fait redescendre d’une étape.Quiz : je réviseReviens plus tard5 questions au hasard sur la leçon, différentes à chaque visite.Jeu de leçonEscape game : le trésor de la médina4 cadenas à ouvrir, un par tâche de la leçon 2.

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