Leçon 2 - Tâche 3 : Utiliser la commutativité et l’associativité de l’addition

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Leçon 2 - Tâche 3 sur 7

03Utiliser la commutativité et l’associativité de l’addition

Je peux changer l’ordre et le groupement des nombres d’une somme pour calculer plus facilement.

استعمال تبادلية وتجميعية عملية الجمع

MotsPréparerMa tâcheRetenirExemplesAttentionEnsembleSeulVie réelleVérifierDéfiRésumé

Mots-clés

Touche chaque carte pour voir le mot en arabe et son sens. Regarde les 9 cartes.

utiliser

Touche pour retourner

utiliser

استعمل

se servir d’une propriété pour calculer

calculer

Touche pour retourner

calculer

اُحسب

trouver le résultat d’une opération

la commutativité

Touche pour retourner

la commutativité

التبادلية

je change l’ordre des nombres : la somme ne change pas

l’associativité

Touche pour retourner

l’associativité

التجميعية

je change le groupement des nombres : la somme ne change pas

l’ordre

Touche pour retourner

l’ordre

الترتيب

la place de chaque nombre dans la somme

regrouper

Touche pour retourner

regrouper

جمّع

mettre des nombres côte à côte pour les calculer d’abord

les crochets [ ]

Touche pour retourner

les crochets [ ]

المعقوفتان

ils montrent les nombres que je calcule d’abord

des nombres opposés

Touche pour retourner

des nombres opposés

عددان متقابلان

leur somme est 0

la somme

Touche pour retourner

la somme

المجموع

le résultat d’une addition

Je me prépare

Ce que tu sais déjà (leçon 1 et tâche 2).

(+4) et (−4) sont deux nombres :

Je me prépare

(+2) + (−5) =

(−2) + (+5) =

Je me prépare

(−2) + (−5) =

(−5) + (−5) =

Je me prépare : ce que je sais déjà

Pour additionner deux nombres entiers, je regarde leurs signes.

= =Même signe : je garde le signe commun, puis j’additionne les valeurs absolues. (−2) + (−5) = −(2 + 5) = −7

≠Signes contraires : je garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue, puis je soustrais. (−2) + (+5) = +(5 − 2) = +3

0Nombres opposés : la somme est 0. (+4) + (−4) = 0

Voici la tâche à réussir

À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :

Calcule en regroupant les nombres.

(+5) + (−7) + (−5)= [(+5) + (−5)] + (−7)= −7

(+5) + (−7) + (+4)= [(+5) + (+4)] + (−7)= +2

(−9) + (+6) + (−5)= (+6) + [(−9) + (−5)]= −8

Je regroupe des nombres opposés, des nombres positifs ou des nombres négatifs : voilà la tâche réussie.

Voici les critères pour réussir

Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.

⇄Je peux changer l’ordre des nombres d’une somme : la somme ne change pas. Chaque nombre garde son signe.

[ ]Je peux changer le groupement des nombres : la somme ne change pas.

0Je regroupe d’abord les nombres opposés (leur somme est 0), ou les nombres de même signe.

Voici ma méthode

Pour calculer en regroupant, j’utilise toujours la même méthode, en 3 étapes.

1Je repère les nombres à regrouperDes nombres opposés, des nombres positifs ou des nombres négatifs.

2Je change leur ordreJe les place côte à côte, sans changer leur signe.

3Je regroupe et je calculeJe mets les nombres regroupés entre crochets et je les calcule d’abord.

Je retiens : la commutativité

Je te montre comment je fais

Compare (−2) + (+5) et (+5) + (−2).

(−2) + (+5) = +3(+5) + (−2) = +3donc (−2) + (+5) = (+5) + (−2)

1. Je calcule (−2) + (+5) : je trouve +3.
2. Je change l’ordre : (+5) + (−2). Je trouve aussi +3.
3. Les deux nombres ont changé de place, mais chacun a gardé son signe. La somme n’a pas changé.
4. Propriété 1 : la commutativitéSi je change l’ordre des nombres dans une addition, la somme ne change pas. Je dis que l’addition est commutative.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

J’utilise la commutativité. (−3) + (+7) est égal à :

Je retiens : l’associativité

Je te montre comment je fais

Calcule (−4) + (+3) + (−2) de deux façons.

[(−4) + (+3)] + (−2) = −3(−4) + [(+3) + (−2)] = −3donc [(−4) + (+3)] + (−2) = (−4) + [(+3) + (−2)]

1. Je calcule d’abord les deux premiers nombres : [(−4) + (+3)] + (−2) = (−1) + (−2) = −3.
2. Je calcule d’abord les deux derniers nombres : (−4) + [(+3) + (−2)] = (−4) + (+1) = −3.
3. L’ordre des nombres est le même. Seuls les crochets ont changé de place. La somme n’a pas changé.
4. Propriété 2 : l’associativitéSi je change le groupement des nombres, la somme ne change pas. Je dis que l’addition est associative.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Complète les crochets : [(−6) + (+4)] + (−2) = (−6) + …

Je retiens : regrouper pour calculer facilement

Je te montre comment je fais

Calcule (−5) + (+7) + (+5) en regroupant les nombres.

(−5) + (+7) + (+5)= (−5) + (+5) + (+7)= [(−5) + (+5)] + (+7)= 0 + (+7)= +7

1. Dans (−5) + (+7) + (+5), je repère deux nombres opposés : (−5) et (+5).
2. Grâce à la commutativité, je les place côte à côte.
3. Grâce à l’associativité, je les regroupe : leur somme est 0.
4. Il reste 0 + (+7) = +7. Le calcul est plus facile !
5. Je retiensJe regroupe les nombres qui se calculent facilement : les nombres opposés, ou les nombres de même signe.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Dans (−9) + (+12) + (+9), je regroupe d’abord :

J'étudie l'exemple

Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.

Je te montre comment je fais

Exemple 1 Je regroupe des nombres opposésCalcule (+5) + (−7) + (−5) en regroupant les nombres.

1 Je repère les nombres à regrouper2 Je change leur ordre3 Je regroupe et je calcule

(+5) + (−7) + (−5)= (+5) + (−5) + (−7)= [(+5) + (−5)] + (−7)= 0 + (−7)= −7

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Je repère les nombres à regrouper(+5) et (−5) sont opposés.
2. Je change leur ordreJe les place côte à côte, sans changer leur signe : (+5) + (−5) + (−7).
3. Je regroupe et je calcule[(+5) + (−5)] = 0, puis 0 + (−7) = −7.

Je retiensJe vérifie : je n’ai oublié aucun nombre et chaque nombre a gardé son signe. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 2 Je regroupe des nombres positifsCalcule (+5) + (−7) + (+4) en regroupant les nombres.

1 Je repère les nombres à regrouper2 Je change leur ordre3 Je regroupe et je calcule

(+5) + (−7) + (+4)= (+5) + (+4) + (−7)= [(+5) + (+4)] + (−7)= (+9) + (−7)= +2

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Je repère les nombres à regrouper(+5) et (+4) sont positifs.
2. Je change leur ordreJe les place côte à côte : (+5) + (+4) + (−7).
3. Je regroupe et je calcule[(+5) + (+4)] = +9, puis (+9) + (−7) = +(9 − 7) = +2.

Je retiensJe vérifie : 3 nombres au départ, 3 nombres dans le calcul. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 3 Je regroupe des nombres négatifsCalcule (−9) + (+6) + (−5) en regroupant les nombres.

1 Je repère les nombres à regrouper2 Je change leur ordre3 Je regroupe et je calcule

(−9) + (+6) + (−5)= (+6) + (−9) + (−5)= (+6) + [(−9) + (−5)]= (+6) + (−14)= −8

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Je repère les nombres à regrouper(−9) et (−5) sont négatifs.
2. Je change leur ordreJe place (+6) devant : (+6) + (−9) + (−5).
3. Je regroupe et je calcule[(−9) + (−5)] = −14, puis (+6) + (−14) = −(14 − 6) = −8.

Je retiensJe vérifie : (−9) et (−5) ont gardé leur signe −. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 4 Quatre nombres : je regroupe les opposésCalcule (−8) + (+3) + (+8) + (−5) en regroupant les nombres.

1 Je repère les nombres à regrouper2 Je change leur ordre3 Je regroupe et je calcule

(−8) + (+3) + (+8) + (−5)= (−8) + (+8) + (+3) + (−5)= [(−8) + (+8)] + [(+3) + (−5)]= 0 + (−2)= −2

Essaie d’abord. Le résultat est :

1. Je repère les nombres à regrouper(−8) et (+8) sont opposés.
2. Je change leur ordre(−8) + (+8) + (+3) + (−5).
3. Je regroupe et je calcule[(−8) + (+8)] = 0 et [(+3) + (−5)] = −2, donc le résultat est −2.

Je retiensJe vérifie : 4 nombres au départ, 4 nombres dans le calcul. ✓

Attention !

Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.

Les erreurs à éviter

Karim écrit : (+5) + (−7) + (−5) = (+5) + (+5) + (−7). A-t-il raison ?

(+5) + (−7) + (−5)= (+5) + (−5) + (−7)

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeDans le calcul de Karim, (−5) est devenu (+5).
2. Je me rappelleQuand je change l’ordre, chaque nombre garde son signe.
3. Je conclusC’est faux : (+5) + (−7) + (−5) = (+5) + (−5) + (−7).

Erreur 1 Changer le signe d’un nombre en changeant l’ordre.

→ Je déplace le nombre avec son signe.

Attention !

Les erreurs à éviter

Vrai ou faux ? Salma écrit : (−9) + (+6) + (−5) = [(−9) + (−5)] = −14.

(−9) + (+6) + (−5)= (+6) + [(−9) + (−5)]= −8

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeIl y a 3 nombres au départ, mais Salma n’en a écrit que 2 : elle a oublié (+6).
2. Je me rappelleAprès le regroupement, je dois retrouver tous les nombres.
3. Je conclusC’est faux : (+6) + [(−9) + (−5)] = (+6) + (−14) = −8.

Erreur 2 Oublier un nombre de la somme.

→ Je compte les nombres : autant au départ qu’à l’arrivée.

Attention !

Les erreurs à éviter

Ahmed écrit : (+11) + (−12) + (+1) = (+11) + (+1) + (−12) = (+12) + (−12) = 24. A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observe(+12) et (−12) sont des nombres opposés.
2. Je me rappelleLa somme de deux nombres opposés est 0.
3. Je conclusAhmed se trompe : [(+12) + (−12)] = 0, pas 24.

Erreur 3 Additionner les valeurs absolues de deux nombres opposés.

→ Deux nombres opposés : la somme est 0.

On essaie ensemble

On applique la méthode ensemble, étape par étape.

ACalcule (−5) + (+7) + (+5) en regroupant les nombres.

(−5) + (+7) + (+5)= (−5) + (+5) + (+7)= [(−5) + (+5)] + (+7)= +7

1. Je repère les nombres à regrouper :

2. Je change leur ordre :

3. Le résultat est :

Pourquoi ? J’ai regroupé (−5) et (+5)…

On essaie ensemble

BCalcule (−9) + (+12) + (−1) en regroupant les nombres négatifs.

(−9) + (+12) + (−1)= (+12) + (−9) + (−1)= (+12) + [(−9) + (−1)]= +2

1. La première étape :

2. Le résultat est :

On essaie ensemble

CRemets les 3 étapes de la méthode dans le bon ordre.

Touche les 3 étapes de la méthode dans le bon ordre.

On essaie ensemble

DCalcule (+11) + (−12) + (+1) en regroupant les nombres positifs.

(+11) + (−12) + (+1)= (+11) + (+1) + (−12)= (+12) + (−12)= 0

1. La deuxième étape :

2. Le résultat est :

On essaie ensemble

EDis si on a changé l’ordre ou le groupement.

Vrai ou faux ? Entre [(−6) + (+4)] + (−2) et (−6) + [(+4) + (−2)], on a changé l’ordre des nombres.

Je m'entraîne

À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.

a

(+8) + (−3) + (−8) =

Je m'entraîne

b

(−6) + (+9) + (−4) =

Je m'entraîne

c

(+7) + (−5) + (+3) =

Je m'entraîne

d

Pour calculer (−4) + (+15) + (+4), j’écris d’abord :

Je m'entraîne

Maintenant, sans indice.

e

(−13) + (+20) + (+13) =

Je m'entraîne

f

(+6) + (−11) + (−9) =

Je m'entraîne

g

(+25) + (−17) + (+5) =

Je m'entraîne

h

(−2) + (+7) + (+2) + (−7) =

Je m'entraîne

i

Vrai ou faux ? (+3) + (−8) = (−8) + (+3)

Dans la vie

Regrouper pour calculer vite, dans la vie.

Le matin, il fait −3 °C. La température monte de 8 °C, puis le soir elle baisse de 8 °C. Quelle température fait-il le soir ?

Dans la vie

Sami gagne 40 DH, il dépense 25 DH, puis il gagne encore 60 DH. Combien a-t-il gagné en tout ?

Dans la vie

L’ascenseur part du rez-de-chaussée (0). Il monte de 5 niveaux, descend de 9 niveaux, puis descend encore de 2 niveaux. À quel niveau est-il ?

Je vérifie

C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres. Sans aide. 5 questions : il faut 4 bonnes réponses du premier coup (80 %).

(+14) + (−9) + (−14) =

(−7) + (+10) + (−3) =

(+6) + (−15) + (+4) =

(−20) + (+35) + (+20) =

(−8) + (−12) + (+5) =

Défi

Pour aller plus loin. Réfléchis avant de toucher.

A = (−234) + (+345) + (−456)
B = (+345) + (−234) + (−456)
C = (−234) + (−456) + (+345)
Les trois résultats sont-ils les mêmes ?

Défi

(+1) + (−2) + (+3) + (−4) + (+5) + (−6) =

Je résume : qu’ai-je appris ?

Dis avec tes mots ce que tu as appris.

Aujourd’hui, j’ai appris à…

Je résume : comment je fais ?

Pour calculer en regroupant, je commence par…

Je résume : ce que je retiens

Découvre les éléments un par un.

Ce que je dois retenir de cette tâche.

(−2) + (+5) = (+5) + (−2)[(−4) + (+3)] + (−2) = (−4) + [(+3) + (−2)](+5) + (−7) + (−5) = [(+5) + (−5)] + (−7) = −7

1. La commutativitéSi je change l’ordre des nombres dans une addition, la somme ne change pas.
2. L’associativitéSi je change le groupement des nombres, la somme ne change pas.
3. Je regroupeLes nombres opposés, ou les nombres de même signe. Chaque nombre garde son signe, et je n’en oublie aucun.

Je résume : mon taux de maîtrise

Je résume : je sais faire

Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».

Je regroupe les nombres opposés.

Je regroupe les nombres de même signe.

Je change l’ordre des nombres sans changer leur signe.

Je calcule la somme sans oublier de nombre.

Je regroupe pour résoudre un problème de la vie.

Je résume : et maintenant ?

Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.

Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.

QuizLe quiz éclair6 questions en 60 secondes, avec un bonus de série.JeuLes paires qui font 0Trouve les nombres opposés dans une longue somme, puis calcule ce qui reste.ManipulationLe calcul malinChoisis les deux nombres à regrouper d’abord, puis calcule.

Tâche suivanteLeçon 2 - Tâche 4 : Effectuer la soustraction de nombres entiersCommencer ▸BientôtMon parcoursVoir toutes les tâchesOuvrir ▸